勾股树模型（毕达哥拉斯树）

【理论题目】在边长为 s = 5 的正方形顶边上作一个直角三角形（两锐角为 θ 与 90°−θ），再分别以该直角三角形的两条直角边为边长向外作正方形，对每个新正方形递归此操作（共 5 层）。求证：第 k 层（k = 0, 1, 2, …）所有正方形的面积之和恒等于底正方形面积 s² = 25。
【思路】对任一父正方形（边长 c，面积 c²），其顶边是子直角三角形的斜边，两直角边 a = c·cosθ、b = c·sinθ 满足勾股定理 a² + b² = c²。即两个子正方形面积之和恰等于父正方形面积。逐层传递：第 k 层面积和 = 第 k−1 层面积和 = … = s²，与每层各三角形锐角取何值无关。
【结论】任意层面积和 ≡ s² = 25（勾股定理的连锁反应），5 层总可见面积 ≡ 125。