最大张角问题

【理论题目】直线 l 同侧有两定点 A、B，在 l 上求点 P，使 ∠APB 最大。
【思路】过 A、B 作一族圆。与 l 相切的圆（切点 P*）上，AB 所对圆周角为定值； 对 l 上任意其他点 P（在切圆外部），由「圆外角 < 圆周角」知 ∠APB < ∠AP*B。 设圆心 (cx, r)（半径 r = 圆心到 l 的距离），解方程组 (cx−Ax)²+(r−Ay)²=r²、(cx−Bx)²+(r−By)²=r² 得 cx、r，切点即 P* = (cx, 0)。
【结论】P 与 P* 重合时张角最大：∠APB ≤ ∠AP*B ≈ 93.2°（A=(2,4)、B=(8,2) 时，P*≈(5.06, 0)）。