蚂蚁爬行模型（圆柱侧面展开 · 曲面上的最短路径）

【理论题目】圆柱底面半径 r = 2、高 h = 5。蚂蚁从下底点 A 沿侧面爬到上底点 B，B 与 A 的圆心角差为 θ。求证：侧面上 A 到 B 的最短路径长为 √((rθ)² + h²)（θ 取弧度），且它恒不超过"先沿母线爬到顶、再沿上底圆周绕到 B"的折线长 h + rθ，θ = 0 时两者相等。
【思路】把圆柱侧面沿过 A 的母线剪开展平，得到一个宽 2πr、高 h 的矩形。侧面上的曲线一一对应到矩形上的曲线，且保持长度。A 对应左下角 (0, 0)，B 对应 (rθ, h)。平面上两点间线段最短，故最短路径 = 直线段 √((rθ)² + h²)；折线"先上后绕"对应矩形的两条边，长 h + rθ。由三角形两边之和大于第三边（或 (rθ)² + h² ≤ (rθ + h)²），直线 ≤ 折线。
【结论】最短路径 = √((rθ)² + h²) ≤ rθ + h（折线），θ = 0 时取等——"化曲为直"是求曲面最短路径的基本方法。