费马点模型（到三顶点距离之和最小）

【理论题目】在 △ABC 各内角均小于 120° 时，以 AB、AC 为边向外作等边 △ABD、△ACE，连 CD、BE 交于点 F。求证：F 到三顶点距离之和 PA+PB+PC 最小，且 ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA = 120°，最小值 FA+FB+FC = |CD| = |BE|。
【思路】旋转法：将 △ABP 绕 A 旋转 60° 到 △AEP′（等边 △ACE 的构造保证 B→E、P→P′，且 PP′ = PA）。于是 PA+PB+PC = EP′ + P′P + PC 是一条从 E 到 C 的折线，长度 ≥ |EC 连线| = |CD|；当 E、P′、P、C 共线时取等，此点即 CD 与 BE 的交点 F。
取等时 P 处三张角均为 120°（折线拉直 + 60° 旋转角推得）。由对称性 |CD| = |BE|。
【结论】PA + PB + PC ≥ FA + FB + FC = |CD| = |BE|，当且仅当 P 与费马点 F 重合时取等。