圆幂定理模型（相交弦）

【理论题目】P 是圆 O 内一点，过 P 的两条弦 AB、CD 相交于 P。求证：PA·PB = PC·PD = R² − OP²。
【思路】连 AD、CB，△PAD ∽ △PCB（∠A = ∠C、∠APD = ∠CPB 对顶）， 故 PA/PC = PD/PB ⇒ PA·PB = PC·PD。再取过 P 的直径特殊位置：PA = R − OP、PB = R + OP， 乘积 = R² − OP²，即点 P 关于圆 O 的幂（取绝对值）。
【结论】PA·PB = PC·PD = R² − OP²：乘积与弦的方向无关，只由 P 的位置决定。