垂美四边形模型

【理论题目】四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD，交点为 P。求证：AB² + CD² = BC² + DA²。
【思路】设 PA = a、PB = b、PC = c、PD = d。因对角线互相垂直，四个小三角形都是直角三角形，由勾股定理： AB² = a² + b²，BC² = b² + c²，CD² = c² + d²，DA² = d² + a²。 于是 AB² + CD² = a² + b² + c² + d² = BC² + DA²。
【结论】对角线垂直 ⇔ 两组对边平方和相等（垂美四边形判定定理），公共值 = a²+b²+c²+d²。