将军饮马 · 两点两线模型

【理论题目】两平行线 l₁、l₂ 间有一条走廊，A 在 l₂ 上方、B 在两线之间。从 A 出发到 l₂ 上的点 P，再到 l₁ 上的点 Q，最后到 B。问 P、Q 选在何处，总路程 AP + PQ + QB 最短？
【思路】作 B 关于 l₁ 的对称点 B′（l₁ 下方），则对 l₁ 上任意 Q 都有 QB = QB′。于是总长 = AP + PQ + QB′ ≥ |AB′|（两点之间线段最短）。因 A 在 l₂ 上方、B′ 在 l₁ 下方，线段 AB′ 依次穿过 l₂、l₁，交点即为最优 P*、Q*。
【结论】AP + PQ + QB ≥ |AB′|，当且仅当 A、P、Q、B′ 四点共线时取最小值 |AB′|。