点圆最值模型

【理论题目】⊙O 半径 R = 2.5，点 P 在圆外，Q 是圆上动点。求 PQ 的最大值与最小值。
【思路】连 OP 交圆于近点 M、延长 PO 交圆于远点 N。对圆上任意 Q，在 △OPQ 中用三角不等式：OP ≤ OQ + PQ ⇒ PQ ≥ OP − R；PQ ≤ OP + OQ = OP + R（O、Q、P 共线时取等）。
【结论】|OP| − R ≤ PQ ≤ |OP| + R：Q 在直线 OP 与圆的交点上分别取到最小、最大值。