边对角存在性(定边定角 → 辅助圆)

【理论题目】已知边 AB,动点 P 在直线 y = t0 上,定角 θ。问轨迹上是否存在点 P 使 ∠APB = θ(对角在顶点 P 处)?求出所有满足条件的 P。
【思路】定弦定角必在圆弧上(圆周角定理):∠APB = θ ⟺ P 在以 AB 为弦、圆周角为 θ 的两段圆弧上(关于 AB 对称)。作辅助圆:半径 R = |AB| / (2 sinθ),圆心在 AB 的中垂线上,到 AB 中点的距离为 |AB| / (2 tanθ),上下各一圆。将两圆与 y = t0 求交(判别式 R² − (t0 − y_O)² ≥ 0),再筛选使 ∠APB 确等于 θ 的点(圆上另一段弧对的是 180° − θ,须剔除)。
【结论】对角模型 = 两段对称圆弧(辅助圆 R = |AB|/(2sinθ));圆与轨迹直线的交点中使 ∠APB = θ 者即为解,共 0~4 个。